가환군을 아벨군이라 부르는 이유

우리가 본 수학책 대부분은 역사적 발견 순서가 아닌, 논리적으로 깔끔한 순서대로 쓰여져있다. 그래서 대수학책도 대부분 군, 환, 체 순서대로 쓰여져있고.

역사적으로 보면 군과 체는 거의 비슷한 시기(약 18~19세기)에 등장했고, 군론에 등장하는 많은 용어들은 갈루아 이론이 정립되면서 명명되었다. 환은 거의 20세기 무렵에 등장했다.

갈루아 이론에 의해 이름지어진 대표적인 군이 아벨군이다.

다들 아시다시피, 5차 이상 방정식이 일반적으로 solvable by radicals(*)가 아니라는 것은 수학자 아벨에 의해 처음 증명되었다. 당시 아벨은 특수한 종류의 n차 방정식은 항상 solvable by radicals라는 것도 증명을했는데 그 특수한 종류의 5차 방정식이 현대적 용어로 바꾸면 주어진 n차 다항식의 갈루아군이 가환군인 케이스였던 것이다. 이것이 가환군을 오늘날 아벨군이라 부르게 된 이유다.

훗날 갈루아에 의해 주어진 n차 다항식이 solvable by radicals 라는 것은 그 다항식의 갈루아군이 solvable인 것과 동치다. 라는 명제가 증명되어 임의의 다항식의 가해성을 군의 가해성으로 바꾸어 판단할 수 있게 되었다.

사실 solvable group의 정의도 이 때 탄생했다고보면 된다.

이 외에 갈루아군의 normal subgroup 역시 체론의 normal extension에 일대일대응되는데 이 용어 역시 갈루아 이론으로부터 탄생한 용어임을 알 수 있다.

(*) 주어진 다항식이 solvable by radicals라는 것은 다항식의 계수들에 유한번의 사칙연산과 근호연산을 하여 방정식의 해를 얻을 수 있다는 뜻이다. 예를들어  와 같은 2차 다항식으로 주어진 방정식의 해는

로 주어지는데 보다시피 주어진 2차 다항식의 계수 에 유한번의 사칙연산과 한번의 근호로 해가 표시되므로 임의의 2차다항식은 solvable by radicals인 것이다.